Title: Maths / chapitre 4 complexes

Q: Le point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) est appelé [...]
A: point d'affixe \(z\)

Q: Le vecteur \(\vec{u}\) de coordonnées \((x,y)\) est appelé [...]
A: vecteur d'affixe \(z\)

Q: Pour tout complexe \(z\),
\(\text{Re}(z)=\)
\(\text{Im}(z)=\)
A: \(\text{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}\)
\(\text{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}\)

Q: \(z+\bar{z}=\)
et \(z-\bar{z}=\)
A: \(z+\bar{z}=2 \cdot \text{Re}(z)\)
et \(z-\bar{z}=2i \cdot\text{Im}(z)\)

Q: \(|z|=\)
A: \(|z|= \sqrt{ \text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}\)
\(|z|=\sqrt{z\cdot\bar{z}}\)

Q: \(|z|=1 \iff\)
A: \(\bar{z}= \frac{1}{z}\)

Q: Inégalité triangulaire :
A: \(||z|-|z'|| \leq |z+z'| \leq |z| + |z'|\)

Q: \(z\in \mathbb{U} \iff\)
A: \(z\in \mathbb{U} \iff \exists \, \theta \in \mathbb{R}, z = \cos \theta + i \cdot \sin \theta\), on le note \(e^{i \theta}\)

Q: Formule d'Euler
\(\cos \theta =\)
\(\sin \theta =\)
A: \(\cos \theta =\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}\)
Formules d'Euler
\(\sin \theta = \frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2i}\)

Q: Formule de Moivre :
\(\left(e^{i \theta} \right)^n = \)
\(\left(\cos \theta + i \cdot \sin \theta \right)^n\)
A: \(\left(e^{i \theta} \right)^n = e^{i \theta}\)
\(\left(\cos \theta + i \cdot \sin \theta \right)^n = \cos(n \theta) + i \cdot \sin(n \theta)\)

Q: \(e^{i \theta}=e^{i \theta'} \iff \)
A: \(e^{i \theta}=e^{i \theta'} \iff \theta = \theta \ [2 \pi]\)

Q: \(j=\)
\(\bar{j}=\)
\(j^2=\)
A: \(j=e^{i\frac{2\pi}{3}}\)
\(\bar{j}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}\)
\(j^2=e^{-i\frac{\pi}{3}}\)

Q: Étape pour linéariser
A: i) Appliquer les formules d'Euler pour remplacer \(\cos x\) et \(\sin x\) par des \(e^{ix}\) et \(e^{-ix}\)
ii) Tout développer, si besoin avec la formule du binome
iii) Regrouper intelligemment les termes pour appliquer dans l'autre sens les formules d'Euler

Q: Technique angle moitié :
\(e^{ip}+e^{iq}=\)
\(e^{ip}-e^{iq}=\)
A: \(e^{ip}+e^{iq}=e^{i\frac{p+q}{2}}2\cos \left ( \frac{p+q}{2} \right )\)
\(e^{ip}-e^{iq}=e^{i\frac{p+q}{2}}2i\sin \left ( \frac{p-q}{2} \right )\)
Cas particulier :
\(1+e^{i\theta}=e^{i\frac{\theta}{2}} 2\cos \left ( \frac{\theta}{2} \right )\)
\(1+e^{i\theta}=e^{i\frac{\theta}{2}} \left( -2i\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )\right)\)

Q: Forme trigonométrique de \(z\)
A: \(z= |z|e^{i\theta}\)

Q: Soit \(z=x+iy\),
\(\theta=\)
A: \(\theta=\text{Arctan} \left( \frac{x}{y} \right)\)

Q: Soit \((E) \) l'équation d'inconnue \(z \in \mathbb{C}\) suivante : \(az^2+bz+c=0\),
avec \(a,b,c \in \mathbb{C}\), \(a \neq 0\).
Posons \(\Delta=b^2-4ac\). Soit \(\delta\) une racine carrée de \(\Delta\). (on a \(\Delta= \delta^2\))
L'ensemble des solutions de \((E)\)est :
[...]
A: \(\left \{ \frac{-b + \delta}{2a} , \frac{-b - \delta}{2a} \right \}\)

Q: Soit \((E):az^2 + bz +c=0\)
\(z_1 \) et \(z_2\) sont des solutions de \((E) \iff\)
A: \(\begin{cases}
z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} \\
z_1 z_2 = \frac{c}{a}
\end{cases}\)

Q: Il existe exactement \(n\) racines \(n\)ièmes de l'unité, qui sont les complexes suivants :
A: \(e^{i\frac{2k\pi}{n}}, k \in \{0,1, \dots,n-1 \}\)

Q: La somme des racines \(n\text{ièmes}\) de l'unité \(\omega\) est :
\(\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k=\)
A: \(\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k=0\)

Q: Il existe \(n\) racine \(n\text{ièmes}\) de \(Z= \rho e^{i\theta}\), qui sont :
A: \[\sqrt[n] \rho e^{i\frac{\theta}{n}}e^{i\frac{2k\pi}{n}}, k \in \{ 0,\dots,n-1\}\]

Q: \(e^z=e^{z'} \iff\)
A: \(z+z'+i2k\pi\)

Q: Soient \(A,B,C,D\) des points d'affixes respectives \(z_a,z_b,z_c,z_d\), avec \(A \neq B\) et \(C\neq D\)
\(\left( \vec{AB},\vec{CD} \right)=\)
A: \(\left( \vec{AB},\vec{CD} \right)=\text{Arg} \left( \frac{z_d-z_c}{z_b-z_a} \right)\)

Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{u'}\) sont colinéaires si et seulement si \(\frac{z'}{z} \in \mathbb{R}\)
Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{u'}\) sont orthogonaux si et seulement si \(\frac{z'}{z} \in i\mathbb{R}\)