Title: Maths / Chapitre 3 - Nouvelles fonctions usuelles

Q: \(\text{ch}(x)=\)
A: \(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)

Q: \(\text{sh}(x)=\)
A: \(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)

Q: Relation avec \(\text{ch}^2(x)\)et \(\text{sh}^2(x)\)
A: \(\text{ch}^2(x)-\text{sh}^2(x)=1\)

Q: avec \(\text{ch}(x)\) et \(\text{sh}(x)\), \(e^x=\)
A: \(\text{ch}(x)+\text{sh}(x)\)

Q: \(\text{ch}'=\)
A: \(\text{sh}\)

Q: \(\text{sh}'=\)
A: \(\text{ch}\)

Soit \(f : I \to \mathbb{R}\) réalisant une bijection de \(I\) sur \(J\).
Soit \(y \in J\). On pose \(x=f^{-1}(y)\)(de sorte que \(y = f(x)\))
On suppose \(f\) dérivable en \(x \), alors :
\(f^{-1}\)dérivable en \(y\)   \( \iff f'(x) \neq 0 \), ie \(f'(f^{-1}(y)) \neq 0\)
et dans ce cas, on a \((f^{-1})'(y)= \frac{1}{f'(x)}\) i.e. \((f^{-1} )'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\)
Rq: En particulier, si \(f \) est dérivable sur \(I\) et que \(f' \) ne s'annule jamais sur \(I\), alors \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\) et \((f^{-1})' = \) \(\frac{1}{f' \circ f^{-1\)}}

La fonction \(\text{Arcsin}\) est définie sur  \([-1,1]\)  à valeurs dans \(\left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]\) et elle est continue et strictement croissante sur sur  \([-1,1]\) . \(\text{Arcsin}\) est la reciproque de : \(\begin{aligned}
f : \left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right] &\to [-1,1] \\
x &\mapsto \sin(x)
\end{aligned}\)

\(\forall x \in\) \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]\)  , \(\forall y \in\)  \([-1,1]\)  ,  \(y=\sin x\) \(\iff\)\(x= \text{Arcsin}(y)\)

Q: Soit \(x \in ]-1,1[\) \(\text{Arcsin}'(x)=\)
A: \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

Q: \(\forall y \in [-1,1], \) \(\cos(\text{Arcsin}(y))= \ ?\) et aussi \(\forall y \in [-1,1], \) \(\sin(\text{Arccos}(y))= \ ?\)
A: \(\sqrt{1-y^2}\)

\(\forall x \in\) \( \left[ 0, \pi \right]\)  , \(\forall y \in\)  \([-1,1]\)  ,  \(y=\cos x\) \(\iff\)\(x= \text{Arccos}(y)\)

Q: La fonction [...]est définie sur \([-1,1]\) à valeurs dans [...] et elle y est continue et [...]
A: \(\text{Arccos}\); \([0,\pi]\); strictement décroissante

Q: Soit \(x \in ]-1,1[\) \(\text{Arccos}'(x)=\)
A: \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

Q: \(\forall x \in\) {{c4: \(\left] -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\) }}  , \(\forall y \in\)  [...]  , [...]\(\iff\)[...]
A: \(\mathbb{R}\); \(y=\tan x\); \(x= \text{Arctan}(y)\)

Q: La fonction \(\text{Arctan} \) est définie et continue sur [...], à valeurs dans [...], et [...]
A: \(\mathbb{R}\); \( \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[\); strictement croissante

Q: \(\text{Arctan}'(x)=\)
A: \(\frac{1}{1+x^2}\)

Q: \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*, \text{Arctan} \, x + \text{Arctan} \, \frac{1}{x} =\)
\(\forall x \in \mathbb{R}_-^*, \text{Arctan} \, x + \text{Arctan} \, \frac{1}{x} =\)
A: \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*, \text{Arctan} \, x + \text{Arctan} \, \frac{1}{x} =\frac{\pi}{2}\)
\(\forall x \in \mathbb{R}_-^*, \text{Arctan} \, x + \text{Arctan} \, \frac{1}{x} =-\frac{\pi}{2}\)
Preuve :
\(\begin{aligned} g : \mathbb{R}_+^* &\to \left[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}\right]\\ x &\mapsto \text{Arctan} \, x + \text{Arctan} \, \frac{1}{x} \end{aligned}\)
\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) par quotient, composition et somme :
\(g'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2} \cdot \text{Arctan}' \frac{1}{x} \)
\(= \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2} \)
\(= \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+\frac{x^2}{x^2}}=\frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+1}=0 \)
Ainsi, \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*, g'(x) =0\), comme \(\mathbb{R}_+^*\) est un intervalle, \(\exists c \in \mathbb{R} , \, g(x)=c\)
En particulier, \(g(1)=c\) i.e. \(\text{Arctan} (1)+\text{Arctan}(\frac{1}{1})=c\)
i.e. \(\frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{4} =c\)
d'où \(c= \frac{\pi}{2}\)
Ainsi, \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*, \, \text{Arctan}(x)+\text{Arctan}(\frac{1}{x})= \frac{\pi}{2}\)