Title: Maths / Chapitre 1.A. - Analyse Généralités

Q: Partie \(A\) de \(\mathbb{R}\) bornée (écriture avec symbole)
A: \(\exists\ K\in\mathbb{R}^{+},\ \forall\ x \in A,\, \left|x\right| \leq K\)

Q: Soit \(f : D\to\mathbb{R}\, , \quad f\) est impaire si
A: Soit \(f : D\to\mathbb{R}\, ,\quad\) \(\forall x \in D, \, f(-x)=-f(x)\).

Q: Soit \(f : D\to\mathbb{R}\, , \quad f\) est paire si
A: Soit \(f : D\to\mathbb{R}\, ,\quad\) \(\forall x \in D, \, f(-x)=f(x)\).

Q: f est T-périodique
A: \(\forall x \in D,\,\forall k\in \mathbb{Z},\, f(x+kT)=f(x)\)

Q: Soit \(x_0\in \mathbb{R}\), La droite d'équation \(x=x_0\) est asymptote verticale à \(C\) de f si ...
A: \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm \infty\) (ou \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\pm \infty\), ou\(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\pm \infty\)) (Que peut-on dire graphiquement ?)

Q: Soit \(b\in \mathbb{R}\), la droite d'équation \(y=b\) est asymptote horizontale à C de f en \(\pm \infty\) si ...
A: \(\lim_{x\to + \infty} f(x) = b\) (Que peut-on dire graphiquement)

Q: Soit \(a \in \mathbb{R^*}\) et \( b\in \mathbb{R}\), on dit que la droite d'équation \(y=ax+b\) est asymptote oblique à \(C\) de f en \(\pm \infty\) si ...
A: \(\lim_{x \to \pm \infty}f(x) -(ax+b)=0\) (que peut-on dire graphiquement)

Q: Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles, et \(f:E \to F\). On dit que f est [...] si [...]
A: bijective; \(\forall y \in F,\, \exists! x \in E,\, y=f(x)\)

Q: \(f\) continue en a si
A: \(\lim_{x\to a }f(x)=f(a)\) (que peut-on dire de f en a)

Théorème de la bijection
Soit \(f\) une fonction définie sur \(I\), à valeurs réelles, telle que :
- \(I\) soit un intervalle
- \(f\) est continue sur \(I\)
- \(f\) est strictement montone sur \(I\)
Alors, f réalise une bijection de \(I\) sur l'intervalle \(f(I)\)
De plus \(f^{-1} : f(I) \to I \) est continue sur \(f(I)\), strictement monotone, de même monotonie que \(f\)

Q: On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si
A: le taux d'accroissement de \(f\) en \(a\), \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\), admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(a\)

Q: Si \(\forall\, x \in I, \, f'(x) \geq 0 , \) et si \(f'\) [...], alors \(f\) est [...]
A: ne s'annule qu'un nombre fini de fois; strictement croissante sur \(I\)

Q: \(\forall \, x \in ]-1, +\infty[\), [...][...][...]
A: \(\ln(1+x)\); \(\leq\); \(x\)

Q: \(\forall \, x \in \mathbb{R}\), [...][...][...]
A: \(\exp(x)\); \(\geq\); \(1+x\)

Q: \(\forall \, x \in \mathbb{R}\), [...][...][...]
A: \(\left|\sin(x)\right|\); \(\leq\); \(\left|x\right|\)

Q: \(\forall \, x \in I, f'(x)=0\) , que peut-on dire de \(f\) ?
A: \(f \) est constante sur \(I\) (ie : \(\exists \,c \in \mathbb{R}, \, \forall\, x\in I, f(x) =c\)), (que peut-on dire de sa dérivée ?)