Title: Maths / Chapitre 8 - Suites numériques

Q: Quelle est la définition d'une suite réelle ?
A: C'est une application \(u\) de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\) : \(u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), \(n \mapsto u(n)\).

Q: À quelles conditions une suite réelle \(u\) est-elle dite constante ou stationnaire ?
A: Constante si \(\exists c \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_n = c\). Stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang (\(\exists n_0 \in \mathbb{N}, \exists c \in \mathbb{R}, \forall n \ge n_0, u_n = c\)).

Q: À quelles conditions une suite réelle \(u\) est-elle majorée, minorée ou bornée ?
A: Majorée si \(\exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_n \le M\). Minorée si \(\exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_n \ge m\). Bornée si \(\exists K \in \mathbb{R}^+, \forall n \in \mathbb{N}, |u_n| \le K\).

Q: À quelles conditions une suite réelle \(u\) est-elle croissante, décroissante ou monotone ?
A: Croissante si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \ge u_n\). Décroissante si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \le u_n\). Monotone si elle est croissante ou décroissante.

Q: Qu'est-ce qu'une suite récurrente simple ?
A: C'est une suite \(u\) définie par la donnée de \(u_0\) et d'une relation \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f(u_n)\) où \(f\) est une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles.

Q: À quelle condition un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) est-il stable par une fonction \(f\) ?
A: Si \(\forall x \in I, f(x) \in I\) (ce qui s'écrit aussi \(f(I) \subset I\)).

Q: Soit l'équation caractéristique \((E) : z^2 = az + b\) d'une suite \(u\). Quelles sont les expressions de \(u_n\) selon les racines de \((E)\) ?
A: Si 2 racines réelles distinctes \(r_1, r_2\) : \(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n\). Si 1 racine double \(r_1\) : \(u_n = (\lambda n + \mu) r_1^n\). Si 2 racines complexes conjuguées de module \(\rho\) et d'arguments \(\theta, -\theta\) : \(u_n = \rho^n (\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta))\).

Q: Quelle est la définition formelle de la convergence d'une suite réelle \((u_n)\) vers un réel \(\ell\) ?
A: \(\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n \ge N \implies \ell - \varepsilon \le u_n \le \ell + \varepsilon\).

Q: (Unicité de la limite) Que dire de la limite d'une suite convergente ?
A: Si une suite est convergente, alors elle admet une unique limite.

Q: Quel est le lien entre la convergence d'une suite et le fait qu'elle soit bornée ?
A: Toute suite convergente est bornée.

Q: À quoi est équivalente la convergence de \((u_n)\) vers \(\ell\) ? Et vers \(0\) ?
A: \((u_n)\) converge vers \(\ell \iff (u_n - \ell)\) converge vers \(0\). \((u_n)\) converge vers \(0 \iff (|u_n|)\) converge vers \(0\).

Q: Soient \(u, M \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) et \(\ell \in \mathbb{R}\). Si \(\forall n \in \mathbb{N}, |u_n - \ell| \le M_n\) et \(M_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\), que peut-on conclure ?
A: La suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) (\(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell\)).

Q: Si \(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \in \mathbb{R}\), que peut-on dire de la suite \((|u_n|)\) ?
A: \((|u_n|)\) converge vers \(|\ell|\).

Q: Quelle est la définition formelle d'une suite réelle divergeant vers \(+\infty\) ? Et vers \(-\infty\) ?
A: Vers \(+\infty\) : \(\forall A \in \mathbb{R}, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, u_n \ge A\). Vers \(-\infty\) : \(\forall B \in \mathbb{R}, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, u_n \le B\).

Q: Si \(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty\) ou \(-\infty\), la suite est-elle majorée, minorée ou bornée ?
A: Si limite \(+\infty\) : non majorée mais minorée. Si limite \(-\infty\) : non minorée mais majorée. Elle est non bornée dans les deux cas.

Q: Si \(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell\) et \(v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell'\), quelles sont les limites de \(\lambda u_n\) et \(u_n + v_n\) ?
A: \(\lambda u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \lambda \ell\). Si \(\ell + \ell'\) n'est pas une forme indéterminée, \(u_n + v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell + \ell'\).

Q: Quelle est la limite du produit d'une suite tendant vers \(0\) et d'une suite bornée ?
A: Si \(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\) et \((v_n)\) est bornée, alors \(u_n v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\).

Q: Si \(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell\) et \(v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell'\), quelle est la limite de \(u_n v_n\) ?
A: Si \(\ell \ell'\) n'est pas une forme indéterminée, \(u_n v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \ell'\).

Q: Soit \(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell\). Quelles sont les limites de \(\frac{1}{u_n}\) selon la valeur de \(\ell\) ?
A: Si \(\ell \ne 0\), \(\frac{1}{u_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{\ell}\). Si \(\ell = 0\) avec \(u_n > 0\), la limite est \(+\infty\). Si \(\ell = 0\) avec \(u_n < 0\), la limite est \(-\infty\).

Q: (Composition) Si \(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell\) (avec \(u_n \in I\)) et si \(f : I \to \mathbb{R}\) vérifie \(f(x) \xrightarrow[x \to \ell]{} a\), quelle est la limite de \(f(u_n)\) ?
A: \(f(u_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} a\). Si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(u_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(\ell)\).

Q: (Croissances comparées) Quelles sont les limites en \(+\infty\) de \(\frac{(\ln(n))^\beta}{n^\alpha}\) et \(\frac{e^{\alpha n}}{n^\beta}\) pour \(\alpha > 0\) ?
A: \(\lim_{n \to +\infty} \frac{(\ln(n))^\beta}{n^\alpha} = 0\) et \(\lim_{n \to +\infty} \frac{e^{\alpha n}}{n^\beta} = +\infty\).

Q: Soit \(u\) une suite convergeant vers \(0\). Quelles sont les limites de \(\frac{\sin(u_n)}{u_n}\), \(\frac{e^{u_n}-1}{u_n}\), \(\frac{\ln(1+u_n)}{u_n}\), \(\frac{\tan(u_n)}{u_n}\) et \(\frac{\cos(u_n)-1}{u_n}\) ?
A: Les quatre premières tendent vers \(1\), et \(\frac{\cos(u_n)-1}{u_n}\) tend vers \(0\).

Q: Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) des suites convergentes telles que \(u_n \le v_n\). Que peut-on dire de leurs limites ?
A: \(\lim_{n \to +\infty} u_n \le \lim_{n \to +\infty} v_n\). De même, si \(u_n \ge 0\), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n \ge 0\).

Q: Énoncer le théorème d'encadrement (ou théorème des gendarmes).
A: Si \(u_n \le v_n \le w_n\) à partir d'un certain rang, et si \((u_n)\) et \((w_n)\) convergent vers la même limite \(\ell\), alors \((v_n)\) converge aussi vers \(\ell\).

Q: (Existence de limite par comparaison) Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) telles que \(u_n \le v_n\). Que se passe-t-il si \(v_n \to -\infty\) ou si \(u_n \to +\infty\) ?
A: Si \(v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} -\infty\), alors \(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} -\infty\). Si \(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty\), alors \(v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty\).

Q: Énoncer le théorème de la limite monotone.
A: Toute suite croissante majorée converge (sinon elle diverge vers \(+\infty\)). Toute suite décroissante minorée converge (sinon elle diverge vers \(-\infty\)).

Q: Soit \(u\) une suite croissante convergeant vers un réel \(\ell\). Quelle inégalité relie \(u_n\) et \(\ell\) ?
A: \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n \le \ell\) (et \(u_n < \ell\) si elle est strictement croissante).

Q: Quelle est la définition de deux suites adjacentes ?
A: Ce sont deux suites dont l'une est croissante, l'autre décroissante, et telles que \(u_n - v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\).

Q: Énoncer le théorème de convergence des suites adjacentes.
A: Deux suites adjacentes convergent vers la même limite \(\ell\). Si \(u\) est croissante et \(v\) décroissante, alors \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n \le \ell \le v_n\).

Q: Qu'appelle-t-on suite extraite d'une suite \((u_n)\) ?
A: C'est une suite de la forme \((u_{\varphi(n)})\) où \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) est strictement croissante.

Q: Si une suite \(u\) converge vers \(\ell\), que peut-on dire de toute suite extraite de \(u\) ?
A: Toute suite extraite admet aussi \(\ell\) comme limite.

Q: Que peut-on déduire si les suites extraites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers la même limite \(\ell\) ?
A: On en déduit que la suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) (\(u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell\)).

Q: À quelle condition la suite géométrique \((q^n)\) (avec \(q \in \mathbb{R}\)) converge-t-elle, et quelles sont ses limites ?
A: Elle converge \(\iff |q| < 1\) (limite \(= 0\)) ou \(q = 1\) (limite \(= 1\)). (Si \(q > 1\), elle diverge vers \(+\infty\)).

Q: Soit \(u\) une suite vérifiant \(u_{n+1} = f(u_n)\). Si \(u\) converge vers \(\ell\) et que \(f\) est continue en \(\ell\), que peut-on dire de \(\ell\) ?
A: \(\ell\) est un point fixe de \(f\), c'est-à-dire que \(f(\ell) = \ell\).

Q: Quelle est la définition d'une suite complexe bornée ?
A: Il existe \(K \in \mathbb{R}^+\) tel que \(\forall n \in \mathbb{N}, |u_n| \le K\) (tous les termes sont dans un disque de centre \(O\) et de rayon \(K\)).

Q: Quelle est la définition de la convergence d'une suite complexe \((u_n)\) vers \(\ell \in \mathbb{C}\) ?
A: \(\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, |u_n - \ell| \le \varepsilon\) (la suite réelle \((|u_n - \ell|)\) converge vers \(0\)).

Q: À quelle condition une suite complexe \((u_n)\) converge-t-elle vers \(\ell \in \mathbb{C}\) en utilisant les parties réelle et imaginaire ?
A: \((u_n)\) converge vers \(\ell \iff \text{Re}(u_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \text{Re}(\ell)\) et \(\text{Im}(u_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \text{Im}(\ell)\).

Q: Si une suite complexe \((u_n)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{C}\), que peut-on dire de la suite de ses modules \((|u_n|)\) ?
A: La suite \((|u_n|)\) converge vers \(|\ell|\).

Q: Toute suite complexe convergente est-elle bornée ?
A: Oui, le corollaire affirme que toute suite complexe convergente est bornée.

Q: À quelle condition la suite complexe géométrique \((q^n)\) avec \(q \in \mathbb{C}\) converge-t-elle ?
A: Elle converge si et seulement si \(|q| < 1\) (limite \(0\)) ou \(q = 1\) (limite \(1\)).

Q: Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites complexes convergeant vers \(\ell\) et \(\ell'\). Quelles sont les limites de \(\lambda u\), \(u+v\), \(uv\) et \(\frac{u}{v}\) ?
A: \(\lambda u \xrightarrow[n \to +\infty]{} \lambda \ell\), \(u+v \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell+\ell'\), \(uv \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \ell'\) et \(\frac{u}{v} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\ell}{\ell'}\) (si \(v_n \ne 0\)).