Title: Maths / Chapitre 10 - Ensembles et applications

Q: Soient \(E\) et \(F\) des ensembles. Quand dit-on que \(F\) est inclus dans \(E\) ?
A: On dit que \(F\) est inclus dans \(E\) ou que \(F\) est une partie de \(E\) si : \(\forall x \in F, \quad x \in E\) (ou \(x \in F \rightarrow x \in E\)). On note \(F \subset E\).

Q: Comment note-t-on l'ensemble des parties de \(E\) ?
A: L'ensemble des parties de \(E\) est noté \(\mathcal{P}(E)\).

Q: Qu'est-ce que la réunion de \(A\) et \(B\) ?
A: C'est l'ensemble des éléments de \(E\) appartenant à \(A\) ou à \(B\) : \(A \cup B = \{x \in E / x \in A \text{ ou } x \in B\}\).

Q: Qu'est-ce que l'intersection de \(A\) et \(B\) ?
A: C'est l'ensemble des éléments de \(E\) appartenant à \(A\) et à \(B\) : \(A \cap B = \{x \in E / x \in A \text{ et } x \in B\}\).

Q: Quelles sont les propriétés élémentaires de la réunion et de l'intersection pour une partie \(A\) de \(E\) ?
A: \(A \cup A = A\), \(A \cup E = E\), \(A \cup \emptyset = A\), \(A \cap A = A\), \(A \cap E = A\), \(A \cap \emptyset = \emptyset\).

Q: Quelles sont les propriétés de distributivité de \(\cap\) sur \(\cup\) et de \(\cup\) sur \(\cap\) ?
A: \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) et \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

Q: Qu'est-ce que la différence de \(A\) par \(B\) ?
A: C'est l'ensemble des éléments \(x\) de \(E\) appartenant à \(A\) mais pas à \(B\) : \(A \setminus B = \{x \in E / x \in A \text{ et } x \notin B\}\).

Q: Qu'est-ce que le complémentaire de \(A\) dans \(E\) ?
A: C'est l'ensemble des éléments \(x\) de \(E\) n'appartenant pas à \(A\)

Q: Quelles sont les propriétés du complémentaire et les lois de De Morgan ?
A: \(\overline{\emptyset} = E\), \(A \cup \overline{A} = E\), \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\), \(\overline{E} = \emptyset\), \(A \cap \overline{A} = \emptyset\), \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\).

Q: Quand dit-on que deux parties \(A\) et \(B\) d'un ensemble \(E\) sont disjointes ?
A: On dit que \(A\) et \(B\) sont disjointes si \(A \cap B = \emptyset\), ie si \(A\) et \(B\) n'ont aucun élément en commun.

Q: Soit \((A_i)_{i \in I}\) des parties d'un ensemble \(E\). Quand dit-on que les \(A_i\) forment un recouvrement disjoint de \(E\) ?
A: On dit que les \(A_i\) forment un recouvrement disjoint de \(E\) si les \(A_i\) sont deux à deux disjoints, et si \(\bigcup_{i \in I} A_i = E\).

Q: Soit \((A_i)_{i \in I}\) des parties d'un ensemble \(E\). Quand dit-on que les \(A_i\) forment une partition de \(E\) ?
A: On dit que les \(A_i\) forment une partition de \(E\) si les \(A_i\) sont deux à deux disjoints, si \(\bigcup_{i \in I} A_i = E\), et si les \(A_i\) sont tous non vides.

Q: Soient \(E\) et \(F\) des ensembles. Qu'appelle-t-on produit cartésien de \(E\) et \(F\) ?
A: On appelle produit cartésien de \(E\) et \(F\) l'ensemble des couples d'un élément de \(E\) et d'un élément de \(F\) : \(E \times F = \{(x, y) / x \in E, y \in F\}\).

Q: Qu'appelle-t-on application (ou fonction) ?
A: On appelle application (ou fonction) la donnée de trois choses : un ensemble de départ \(E\) non vide, un ensemble d'arrivée \(F\) non vide, et pour tout \(x \in E\), la donnée d'un unique élément \(f(x)\) de \(F\) associé.

Q: Soient \(E, F, G\) des ensembles, et des applications \(E \xrightarrow{f} F\) et \(F \xrightarrow{g} G\). Qu'appelle-t-on composée de \(f\) par \(g\) ?
A: On appelle composée de \(f\) par \(g\) l'application notée \(g \circ f\) définie par : \(g \circ f : E \longrightarrow G\), \(x \longmapsto g(f(x))\).

Q: Soient \(E, F, G, H\) des ensembles et \(f : E \rightarrow F\), \(g : F \rightarrow G\), \(h : G \rightarrow H\). Quelle est la propriété d'associativité de la composition ?
A: \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\). On peut donc écrire \(h \circ g \circ f\).

Q: Soit \(f : E \rightarrow F\). Quelles sont les propriétés de composition avec l'identité ?
A: \(f \circ id_E = f\) et \(id_F \circ f = f\).

Q: Soit \(f : E \rightarrow F\) et \(A\) une partie de \(E\). Qu'appelle-t-on restriction de \(f\) à \(A\) ?
A: On appelle restriction de \(f\) à \(A\) l'application \(f|_A\) définie par : \(f|_A : A \longrightarrow F\) et \(\forall x \in A, f|_A(x) = f(x)\).

Q: Soit \(A\) une partie de \(E\) et \(f : A \rightarrow F\). Qu'est-ce qu'un prolongement de \(f\) à \(E\) ?
A: Un prolongement de \(f\) à \(E\) est une application \(\tilde{f} : E \rightarrow F\) qui vérifie : \(\forall x \in A, \tilde{f}(x) = f(x)\).

Q: Soit \(f : E \rightarrow F\) et \(A\) une partie de \(E\). Qu'appelle-t-on image directe de \(A\) par \(f\) ?
A: On appelle image directe de \(A\) par \(f\), et on note \(f(A)\), l'ensemble des images des éléments de \(A\) : \(f(A) = \{f(x) / x \in A\}\). C'est une partie de \(F\).

Q: Soit \(f : E \rightarrow F\) et \(B\) une partie de \(F\). Qu'appelle-t-on image réciproque de \(B\) par \(f\) ?
A: On appelle image réciproque de \(B\) par \(f\), et on note \(f^{\leftarrow}(B)\), l'ensemble des antécédents des éléments de \(B\) : \(f^{\leftarrow}(B) = \{x \in E / f(x) \in B\}\). C'est une partie de \(E\).

Q: Quand dit-on que \(f : E \rightarrow F\) est injective ?
A: On dit que \(f : E \rightarrow F\) est injective si tout élément \(y\) de \(F\) possède au plus un antécédent par \(f\). Autrement dit : \(f\) injective \(\iff \forall (x, x') \in E^2, x \neq x' \implies f(x) \neq f(x')\) \(\iff \forall (x, x') \in E^2, f(x) = f(x') \implies x = x'\).

Q: Quand dit-on que \(f : E \rightarrow F\) est surjective ?
A: On dit que \(f : E \rightarrow F\) est surjective si tout élément \(y\) de \(F\) possède au moins un antécédent par \(f\). Autrement dit : \(f\) surjective \(\iff \forall y \in F, \exists x \in E, y = f(x)\).

Q: Quand dit-on que \(f : E \rightarrow F\) est bijective ?
A: On dit que \(f : E \rightarrow F\) est bijective si elle est injective et surjective, c'est-à-dire si pour tout \(y \in F\), \(y\) possède exactement un antécédent par \(f\). Autrement dit : \(f\) bijective \(\iff \forall y \in F, \exists! x \in E, y = f(x)\).

Q: Soit \(f\) une application bijective de \(E\) dans \(F\). Qu'appelle-t-on l'application réciproque de \(f\) ?
A: L'application qui à tout \(y \in F\), associe son unique antécédent par \(f\), s'appelle l'application réciproque de \(f\). On la note \(f^{-1}\). On a : \(\forall (x, y) \in E \times F, y = f(x) \iff f^{-1}(y) = x\). \(f^{-1} : F \longrightarrow E\).

Q: Quelle est une bonne méthode pour montrer qu'une fonction est bijective et trouver sa réciproque ?
A: Pour montrer qu'une fonction est bijective et trouver la réciproque, une bonne méthode est de résoudre, pour tout \(y \in F\), l'équation \(f(x) = y\) d'inconnue \(x \in E\). Si pour tout \(y \in F\), on trouve une unique solution, alors \(f\) est bijective, et l'unique solution obtenue en fonction de \(y\) est \(f^{-1}(y)\).

Q: Soit \(f : E \rightarrow F\). Quelle est la caractérisation des fonctions bijectives ?
A: \(f\) est bijective si et seulement s'il existe une application \(g : F \rightarrow E\) telle que \(g \circ f = id_E\) et \(f \circ g = id_F\). Si c'est le cas, une telle application \(g\) est unique, c'est \(f^{-1}\).

Q: Soient \(f : E \rightarrow F\) et \(g : F \rightarrow G\) bijectives. Que peut-on dire de \(g \circ f\) ?
A: Si \(f\) et \(g\) sont bijectives, alors la fonction \(g \circ f : E \rightarrow G\) est bijective, et sa réciproque est : \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).

Q: Soient \(f : E \rightarrow F\) et \(g : F \rightarrow G\) injectives. Que peut-on dire de \(g \circ f\) ?
A: Si \(f\) et \(g\) sont injectives, alors \(g \circ f\) est injective.

Q: Soient \(f : E \rightarrow F\) et \(g : F \rightarrow G\) surjectives. Que peut-on dire de \(g \circ f\) ?
A: Si \(f\) et \(g\) sont surjectives, alors \(g \circ f\) est surjective.

Q: Soit \(E\) un ensemble et \(A\) une partie de \(E\). Qu'est-ce que la fonction indicatrice de \(A\) ?
A: La fonction indicatrice de \(A\) (ou fonction caractéristique de \(A\)) est la fonction de \(E\) dans \(\{0, 1\}\) notée \(\mathbb{1}_A\) et définie par : \(\mathbb{1}_A(x) = 1\) si \(x \in A\), \(\mathbb{1}_A(x) = 0\) sinon. Ainsi, \(x \in A \Longleftrightarrow \mathbb{1}_A(x) = 1\) et \(x \notin A \Longleftrightarrow \mathbb{1}_A(x) = 0\).