Title: Maths / 15 Polynômes

Q: Qu'appelle-t-on polynôme à coefficients dans \( \mathbb{K} \) ?
A: On appelle polynôme à coefficients dans \( \mathbb{K} \) toute suite \( P = (a_0, a_1, \dots, a_n, 0, \dots) \) d'éléments de \( \mathbb{K} \) nulle à partir d'un certain rang, notée \( P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k \). \( X \) est l'indéterminée et les \( a_k \) sont les coefficients.

Q: À quelle condition deux polynômes sont-ils égaux ?
A: Deux polynômes sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients respectifs sont égaux.

Q: Qu'est-ce que le degré d'un polynôme \( P \neq 0 \) et un polynôme unitaire ?
A: Le degré est le plus grand entier \( p \) tel que le coefficient \( a_p \neq 0 \) (noté \( \text{deg}(P) \)). Le polynôme est unitaire (ou normalisé) si son coefficient dominant \( a_p \) vaut \( 1 \). Par convention, \( \text{deg}(0) = -\infty \).

Q: Comment caractérise-t-on le degré d'un polynôme constant, non constant, ou constant non nul ?
A: Pour \( P \) constant : \( \text{deg}(P) \le 0 \). Pour \( P \) non constant : \( \text{deg}(P) \ge 1 \). Pour \( P \) constant non nul : \( \text{deg}(P) = 0 \).

Q: Comment note-t-on l'ensemble des polynômes et l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à \( n \) ?
A: \( \mathbb{K}[X] \) est l'ensemble de tous les polynômes, et \( \mathbb{K}_n[X] = \left\{ \sum_{k=0}^{n} a_k X^k / (a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{K}^{n+1} \right\} \).

Q: Quelle est la structure de l'ensemble \( (\mathbb{K}[X], +, \cdot) \) ?
A: C'est un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel.

Q: Que valent le degré de la somme \( P + Q \) et du produit par un scalaire \( \lambda P \) ?
A: \( \text{deg}(P + Q) \le \max(\text{deg}(P), \text{deg}(Q)) \) (avec égalité si \( \text{deg}(P) \neq \text{deg}(Q) \)). Pour \( \lambda \neq 0 \), \( \text{deg}(\lambda P) = \text{deg}(P) \).

Q: Quelle est la structure de l'ensemble \( \mathbb{K}_n[X] \) ?
A: C'est un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{K}[X] \), avec \( \mathbb{K}_n[X] = \text{Vect}(1, X, X^2, \dots, X^n) \).

Q: Comment définit-on le produit de deux polynômes \( P = \sum_{k=0}^{p} a_k X^k \) et \( Q = \sum_{k=0}^{q} b_k X^k \) ?
A: \( P \times Q = \sum_{k=0}^{p+q} c_k X^k \) où \( c_k = \sum_{i=0}^{k} a_i b_{k-i} \).

Q: Quelles sont les propriétés algébriques du produit de polynômes ?
A: Il est commutatif (\( PQ = QP \)), associatif, distributif sur l'addition. On a \( X^p X^q = X^{p+q} \), \( P \times 0 = 0 \), \( P \times 1 = P \) et \( \lambda \cdot (PQ) = (\lambda P)Q = P(\lambda Q) \).

Q: Que vaut le degré du produit \( PQ \) ?
A: \( \text{deg}(PQ) = \text{deg}(P) + \text{deg}(Q) \).

Q: Quelle est la règle d'intégrité dans \( \mathbb{K}[X] \) ?
A: \( PQ = 0 \iff P = 0 \) ou \( Q = 0 \). Conséquence : si \( R \neq 0 \), \( PR = QR \iff P = Q \).

Q: Comment définit-on la composition \( P \circ Q \) (ou \( P(Q) \)) ?
A: Pour \( P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k \), on pose \( P(Q) = \sum_{k=0}^{n} a_k Q^k \).

Q: Que vaut le degré de la composition \( P \circ Q \) si \( Q \neq 0 \) ?
A: \( \text{deg}(P \circ Q) = \text{deg}(P) \times \text{deg}(Q) \).

Q: Qu'est-ce qu'un polynôme pair et un polynôme impair ?
A: Un polynôme est pair si \( P(-X) = P(X) \) (soit \( \forall i, a_{2i+1} = 0 \)). Il est impair si \( P(-X) = -P(X) \) (soit \( \forall i, a_{2i} = 0 \)).

Q: Que signifie que \( P \) divise \( Q \) (noté \( P|Q \)) ?
A: Cela signifie qu'il existe \( R \in \mathbb{K}[X] \) tel que \( Q = P \times R \).

Q: Quelles sont les propriétés de base de la divisibilité de polynômes ?
A: Tout polynôme divise \( 0 \) et lui-même. Si \( P|Q \) et \( Q \neq 0 \) alors \( \text{deg}(P) \le \text{deg}(Q) \). La relation est transitive : \( P|Q \) et \( Q|R \implies P|R \).

Q: Qu'énonce le théorème de la division euclidienne dans \( \mathbb{K}[X] \) ?
A: Pour \( A, B \in \mathbb{K}[X] \) avec \( B \neq 0 \), il existe un unique couple \( (Q, R) \) tel que \( A = BQ + R \) et \( \text{deg}(R) < \text{deg}(B) \).

Q: Comment caractériser la divisibilité de \( A \) par \( B \) via la division euclidienne ?
A: \( B \) divise \( A \iff \) le reste de la division euclidienne de \( A \) par \( B \) est nul.

Q: Qu'est-ce que la fonction polynomiale associée à un polynôme \( P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k \) ?
A: C'est la fonction \( \tilde{P} : \mathbb{K} \to \mathbb{K} \) qui à tout \( x \) associe \( \sum_{k=0}^{n} a_k x^k \).

Q: Qu'est-ce qu'une racine (ou un zéro) d'un polynôme \( P \) ?
A: C'est un scalaire \( \alpha \in \mathbb{K} \) tel que \( \tilde{P}(\alpha) = 0 \).

Q: Quel est le reste de la division euclidienne de \( P \) par \( X - \alpha \) et quelle en est la conséquence pour les racines ?
A: Le reste est \( P(\alpha) \). En conséquence, \( \alpha \) est racine de \( P \iff (X - \alpha) | P \).

Q: Que peut-on dire si un polynôme \( P \) admet \( p \) racines distinctes \( \alpha_1, \dots, \alpha_p \) ?
A: Le produit \( (X - \alpha_1) \dots (X - \alpha_p) \) divise \( P \).

Q: Combien de racines distinctes au maximum peut avoir un polynôme de degré \( n \) ?
A: Un polynôme non nul de degré \( n \) admet au plus \( n \) racines distinctes.

Q: À quelle condition deux polynômes \( P \) et \( Q \) sont-ils égaux via leurs fonctions polynomiales ?
A: \( P = Q \iff \forall x \in \mathbb{K}, P(x) = Q(x) \) (c'est-à-dire \( \tilde{P} = \tilde{Q} \)).

Q: Qu'appelle-t-on racine d'ordre au moins \( k \) et racine d'ordre exactement \( k \) d'un polynôme \( P \neq 0 \) ?
A: Ordre au moins \( k \) : \( (X - \alpha)^k | P \). Ordre exactement \( k \) : \( (X - \alpha)^k | P \) mais \( (X - \alpha)^{k+1} \nmid P \) (i.e. \( P = (X-\alpha)^k Q \) avec \( Q(\alpha) \neq 0 \)).

Q: Que déduire si \( P \) admet \( p \) racines distinctes \( \alpha_i \) de multiplicités respectives au moins \( k_i \) ?
A: Le produit \( (X - \alpha_1)^{k_1} \dots (X - \alpha_p)^{k_p} \) divise \( P \). De plus, si \( P \neq 0 \), la somme des \( k_i \) est inférieure ou égale à \( \text{deg}(P) \).

Q: Combien de racines au maximum, comptées avec leurs multiplicités, admet un polynôme de degré \( n \) ?
A: Un polynôme non nul de degré \( n \) admet au plus \( n \) racines comptées avec leurs multiplicités.

Q: Comment définit-on le polynôme dérivé \( P' \), et quelles sont les propriétés de son degré ?
A: Pour \( P = \sum a_k X^k \), \( P' = \sum_{k=1}^{n} k a_k X^{k-1} \) si \( n \ge 1 \) et \( 0 \) sinon. \( \text{deg}(P') = \text{deg}(P) - 1 \) si \( \text{deg}(P) \ge 1 \). De plus, \( P' = 0 \iff P \) est constant.

Q: Quelles sont les formules de dérivation pour la somme, le produit, et la composition de polynômes ?
A: \( (P + Q)' = P' + Q' \), \( (\lambda P)' = \lambda P' \), \( (PQ)' = P'Q + PQ' \), et \( (P \circ Q)' = Q' \times (P' \circ Q) \).

Q: Comment définit-on les polynômes dérivés successifs \( P^{(n)} \) ?
A: Par récurrence : \( P^{(0)} = P \), et pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( P^{(n+1)} = (P^{(n)})' \).

Q: Quelle est la formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit \( (PQ)^{(n)} \) ?
A: \( (PQ)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P^{(k)} Q^{(n-k)} \).

Q: Que vaut la dérivée k-ième de \( X^n \), notée \( (X^n)^{(k)} \) ?
A: Elle vaut \( \frac{n!}{(n-k)!} X^{n-k} \) si \( k \le n \), et \( 0 \) si \( k > n \).

Q: Qu'énonce la formule de Taylor pour un polynôme \( P \) de degré \( n \) évalué en \( \alpha \) ?
A: \( P = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!} (X-\alpha)^k \).

Q: Comment caractérise-t-on une racine \( \alpha \) d'ordre exactement \( k \) à l'aide des dérivées ?
A: C'est équivalent à : \( P(\alpha) = 0, P'(\alpha) = 0, \dots, P^{(k-1)}(\alpha) = 0 \) et \( P^{(k)}(\alpha) \neq 0 \).

Q: Quand dit-on qu'un polynôme de degré \( n \ge 1 \) est scindé sur \( \mathbb{K} \) ?
A: S'il existe \( \mu \in \mathbb{K}^* \) et \( \alpha_1, \dots, \alpha_n \in \mathbb{K} \) tels que \( P = \mu (X-\alpha_1) \dots (X-\alpha_n) \).

Q: Quelle est une condition suffisante pour qu'un polynôme de degré \( n \) soit scindé ?
A: S'il possède \( n \) racines distinctes dans \( \mathbb{K} \).

Q: Quelles sont les relations entre les racines \( x_1, x_2 \) et les coefficients d'un trinôme \( P = aX^2 + bX + c \) scindé ?
A: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) et \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \). Conséquence : \( x_1, x_2 \) sont les racines de \( X^2 - SX + P \), où \( S \) est la somme et \( P \) le produit.

Q: Quelles sont les relations de base entre les racines \( x_1, \dots, x_n \) et les coefficients d'un polynôme scindé \( P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k \) ?
A: La somme des racines est \( x_1 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \) et leur produit est \( x_1 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \).

Q: Qu'énonce le théorème de D'Alembert-Gauss pour les polynômes sur \( \mathbb{C} \) ?
A: Tout polynôme non constant de \( \mathbb{C}[X] \) possède au moins une racine dans \( \mathbb{C} \). En conséquence, tout polynôme non constant de \( \mathbb{C}[X] \) est scindé.

Q: Qu'est-ce qu'un polynôme irréductible ?
A: C'est un polynôme non constant qui n'est divisible que par les polynômes constants non nuls et par \( \lambda P \) avec \( \lambda \in \mathbb{K}^* \).

Q: Que peut-on dire des racines complexes d'un polynôme à coefficients réels \( P \in \mathbb{R}[X] \) ?
A: Si \( \alpha \in \mathbb{C} \) est une racine de \( P \), alors son conjugué \( \bar{\alpha} \) est aussi racine de \( P \), avec le même ordre de multiplicité.

Q: Quels sont les facteurs irréductibles de \( \mathbb{R}[X] \) et comment se factorise tout polynôme réel non constant ?
A: Il se factorise de manière unique en un produit de polynômes de degré 1 de la forme \( (X-\alpha_i) \) et de polynômes de degré 2 de la forme \( (X^2 + p_j X + q_j) \) avec un discriminant \( p_j^2 - 4q_j < 0 \).

Q: Quelle est la factorisation de \( X^n - 1 \) dans \( \mathbb{C}[X] \) ?
A: \( X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - e^{i \frac{2k\pi}{n}}) \).